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Hipótese de Riemann: Todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann têm parte real igual a 1/2? pense bem colega
Se todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann realmente têm parte real igual a
1
/
2
1/2, isso teria implicações profundas para a teoria dos números. Em particular, reforçaria a precisão das fórmulas que predizem a distribuição de números primos e solidificaria muitos dos resultados já baseados na hipótese. Esse cenário é amplamente aceito como provável pela comunidade matemática, mas carece de uma prova formal.
Se for encontrada uma única exceção onde a parte real de um zero não trivial da função zeta não é igual a
1
/
2
1/2, isso invalidaria a hipótese. Nesse caso, muitas ferramentas baseadas na hipótese precisariam ser revistas. Além disso, abriria portas para descobertas ainda mais profundas sobre a natureza dos números primos e as funções complexas. Até agora, não houve nenhuma evidência empírica que indicasse tal exceção.
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Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer : Existe uma forma precisa de contar os pontos racionais em curvas elípticas em termos de funções associadas a elas?
A conjectura afirma que a quantidade de soluções racionais em uma curva elíptica está diretamente relacionada ao comportamento de uma função associada a ela chamada função
�
L. Até hoje, isso foi demonstrado para certos casos específicos de curvas elípticas, mas a prova geral ainda não foi encontrada.
A conjectura diz que todas as curvas elípticas têm soluções racionais infinitas. Isso está incorreto, porque existem muitas curvas que possuem apenas um número finito (ou até nenhuma) de soluções racionais, dependendo de sua estrutura
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Problema P vs NP : Todo problema cujas soluções podem ser verificadas rapidamente também pode ser resolvido rapidamente?
O problema pergunta se todo problema cujas soluções podem ser verificadas rapidamente (
classe NP
classe NP) também pode ser resolvido rapidamente (
classe P
classe P). Atualmente, a resposta é desconhecida, e o consenso geral é que
P
≠
NP
P
=NP, mas ninguém conseguiu provar isso ainda.
O problema já foi resolvido e a resposta é
P
=
NP
P=NP, significando que todo problema verificável é também resolvível rapidamente. Isso está incorreto, pois nenhuma prova foi apresentada até hoje.
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Conjectura de Goldbach : Todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos?
A conjectura diz que todos os números, pares e ímpares, podem ser expressos como a soma de dois números primos. Isso está incorreto, já que a conjectura se refere apenas a números pares maiores que 2.
A conjectura afirma que todo número par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos. Isso ainda não foi provado, mas testes computacionais mostraram que a conjectura é verdadeira para números muito grandes.
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Conjectura de Collatz : Para qualquer número positivo � n, ao aplicar a sequência � → � / 2 n→n/2 (se � n for par) ou � → 3 � + 1 n→3n+1 (se � n for ímpar), eventualmente se chegará ao número 1?
A conjectura afirma que todos os números positivos sempre crescem indefinidamente e nunca chegam a 1. Isso é incorreto, pois a conjectura sugere que todos os números eventualmente convergem para 1
A conjectura diz que, ao aplicar repetidamente as regras
�
→
�
/
2
n→n/2 (se
�
n for par) e
�
→
3
�
+
1
n→3n+1 (se
�
n for ímpar), qualquer número positivo eventualmente chegará a 1. Isso foi verificado para bilhões de casos, mas ainda não foi provado para todos os números.
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Desafio dos Sete Pontes de Königsberg É possível atravessar as sete pontes da cidade de Königsberg cruzando cada ponte exatamente uma vez e retornando ao ponto inicial?
É possível atravessar todas as sete pontes de Königsberg sem repetir nenhuma delas, começando de qualquer ponto da cidade. Isso está errado, pois Euler demonstrou que tal caminho é impossível devido à estrutura do grafo.
O problema foi resolvido por Euler, que provou que não é possível atravessar todas as sete pontes de Königsberg sem cruzar uma delas mais de uma vez. Isso introduziu a base da teoria dos grafos.
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Equação Diofantina : Existe uma solução inteira para a equação � 2 + � 2 = � 2 x 2 +y 2 =z 2 além de ( 3 , 4 , 5 ) (3,4,5)? (Esse é um exemplo simples; versões mais complexas são incrivelmente difíceis).
A equação
�
2
+
�
2
=
�
2
x
2
+y
2
=z
2
só tem uma solução inteira, que é
(
3
,
4
,
5
)
(3,4,5). Isso é incorreto, pois existem infinitas soluções inteiras para essa equação.
Uma equação diofantina, como
�
2
+
�
2
=
�
2
x
2
+y
2
=z
2
, tem muitas soluções inteiras além de
(
3
,
4
,
5
)
(3,4,5), como
(
5
,
12
,
13
)
(5,12,13) e
(
7
,
24
,
25
)
(7,24,25). O estudo dessas soluções é fundamental na matemática.
